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〜楽しい趣味数学の世界〜

リンク切れの可能性有ります。ご了承下さい。
今回は"趣味数学"の世界について
説明します。

趣味数学とは,
ずばり楽しむための数学であります。
という事で,私が取り組んでいる
分野について説明します。

①フラクタル図形(知るのは超·簡単!)
②複素平面上の(初等)関数
③素数(本格的でないもの)
④解析接続(本格的でないもの)

であります。 フラクタル図形
「繰り返し単位が存在し,
無限小または無限大に幅を取っても,
その繰り返し単位が現れる
図形の事である。」
ここまでは"それで?"
となる方が多いであろうと存じます。

しかし,これは身近な所にも現れている。
株価は勿論,経済(=社会,世界)や
自然災害,ヒトの人生にも存在する。

つまり,未来予測ができるという事です。
これにより,経済で考えれば,
2019~21年の世界不況と中国の大躍進,
並びに日本の著しい世界的地位低下,
2022年の関東大震災に伴う令和恐慌,
2033年の太平洋地震による経済停滞,
それ以降の復興需要による経済復活,
更には年金制度の改革または機能停止と
2045年をピークとした経済成長と反転,
などが予測できるのです。

いきなりは信じないと思いますが,
その原因までも推定できます。
19~21年の不況は資源高騰による生産減退,
22~33年の震災復興計画と都市圏統合,
33~45年の根本的構造改革と経済成長,
45~75年の"打つ手"無き負の成長とデフレ,
76年以降の産業革命による世界的変化,
などであります。

これらは過去1000年分程の
データをほじくり返せば,
誰でもできます。
これは何においても(少し語弊があるが)
適用できます。(公私·大小問わず)
それが"フラクタル図形"の魔力です。

②複素平面上の(初等)関数
これは,一般に皆様が見られるであろう
xy平面を,複素平面に置き換えたものです。
なので,y=xの場合は,
α=x+xi (x∈ℝ)とします。

一般化すると,
関数y=f(x)ならば
α=x+f(x)i (x∈ℝ)となります。
これは非常に美しいもので,
fを関数と見做せないもの変えてもよいのです。

これを関数ではない円で考えると,
円はx²+y²=r²なので,
α²=a²+b²iとなります。
この場合は,r·eとでき,
=r·(cosθ+isinθ)と表記できます。
(この方が分かり易いやも知れません…)

つまり,xy平面での
関係式y=f(x)を
複素平面に描画したければ,
Im(α)=f(x)となればよい。
なので,ここでも
α=x+f(x)iである!
これは(自分でやると)楽しいですよね?
(しかも簡単な方)

③素数
素数には色々な性質があります。
有名なものは次のものでしょう。
ζ(s)=∑(1/ns) (n∈ℤ)とすると,

1.ζ(s)=∏1/{1-(1/p)s} p:prime
2.ζ(2)=π/6
3.π(x)∼li(x) (π(x):素数関数)

1.はEular積表示,2.はバーゼル問題(の解),
3.は素数定理(の表す結果)です。
しかし,こんな事やっても仕方ないので,
(正統派の考えは分からないので)
誰でも分かる事をしましょう。

まずは,完全数です。
偶数完全数は,(2p-1)(2p-1)の形である事が
(2p-1:prime)
Eularにより示されていますが,
完全数の定義は,
σ(α)=2α となる事です。
(σ:約数総和関数)
また,σ(x)=x+1がmin{σ(x)}となり,
σ(x)>2xとなるxを過剰数,
σ(x)<2xとなるxを不足数といいます。
因みに素数は,不足数です。

約数には,
自明な約数と非自明な約数があり,
自明な約数は,±1,±αのみです。
つまり,素数は自明な約数しか持ちません。

次に,約数個数関数d(x)を考えると,
d(p)=2 (p:prime) であると分かります。
ここで,(やっと本題)
約数平均
k(x)=σ(x)/d(x)
  を考えると,
max{k(x)}=k{max(p)} (p:prime)です。
Eularのトーシェント関数をφ(x)とすると,
関数φは互いに素なx以下の整数の数なので,
k(x)=σ(x)/{x-φ(x)}となります。

また,約数平均には,
1.p:primeならばk(p)はp以下の関数値で最大
2.約数が多いほど小さい値になる
  ことが知られています。
1.自明なので略
(満足な証明はしない)
2.約数が多いという事は小さい素因数を含み,
 分母を大きくするから。
楽しいでしょうか,約数平均。

④解析接続
解析接続とは,
(これは端的に言ったもので,定義ではない)
f(x)の定義域を
強いルールで縛って
fの延長の仕方が一意になるように
拡張する事。
(強いルールのため出来ない事も…)

ここで前述の関数ζを解析接続しよう。
ζの定義域はs>1。
(s=-1なら自然数和,s=1は発散)
解析接続とは,前述のように
「ルールに則り都合良く関数を延長」
   することであります。
ここで,
定義域が|z|<1の関数gに対し,
g(z)=-1/(z-1) となるのですが,
この収束半径上の点1/2を中心に,
(複素平面の定義域と見做す事にして下さい)
g(x)をTaylor展開すると,
収束半径(≒定義域)は3/2まで広がります。
(複素平面上と思って円を書き,
 半径の中点を中心に
 同じ大きさの円を書く,
 すると2円の合計面積は
 あら不思議!広がっちゅう!in土佐弁)
(Taylor展開とは,
 何回でも微分できる実関数fがあるとき,
 f=∑(x-a)ⁿf(n)(a)/n! (n=0 to ∞)
 ならばTaylor展開可能という。)
(上記,wikiが分かり易いのでwikiより引用)
このようにgに行う動作を
ζに行うと,
本来定義できない所(特異点)以外で
関数値が出ます。
(一応,特異点でも出るが,それは不適。)
例:ζ(1)=1の無限和≠-1/12

解析接続については,
専門家どころか知識人ですらないので,
正直言って,分かりません。
が,分からない事を知るのは
面白いと思いませんか?
(随時更新予定)


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