Tosastudy-math
目次
01.三角比の基本公式
①相互関係
sin²θ+cos²θ=1
tanθ=sinθ/cosθ
1+tan²θ=1/cos²θ
②度数変換Ⅰ(90°)
sin(π/2-θ)=cosθ
cos(π/2-θ)=sinθ
tan(π/2-θ)=1/tanθ
③度数変換Ⅱ(180°)
sin(θ-π)=sinθ
cos(θ-π)=-cosθ
tan(θ-π)=-tanθ
02.ラジアン(弧度法)
一般角は0°～360°で表す。
これを半径1の円に対する
扇形の弧長に書き換えたものがラジアン。
| ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 |
| rad | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π |
| 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
| 7π/6 | 5π/4 | 4π/3 | 3π/2 | 5π/3 | 7π/4 | 11π/6 | 2π |
03.正接の扱い
tanはtanとして扱わない。
tanθ=sinθ/cosθを使う。
2乗がある場合には、
tan²θ=-1+1/cos²θも使える。
また、傾きとしても扱う。
2直線のなす角は,α-βとおき、
それぞれをtan表記にする。
04.正弦・余弦定理
正弦定理
△ABCの外接円(半径R)について
2R=a/cosA=b/cosB=c/cosC
第2余弦定理
△ABCにおいて、
a²=b²+c²-2bccosA
b²=c²+a²-2cacosB
c²=a²+b²-2abcosC
第1余弦定理(コラム)
a=bcosC+ccosB
b=ccosA+acosC
c=acosB+bcosA
05.三角形の面積
△ABC=1/2×bcsinA (B,Cも)
ここで、内接円半径rとすると、
△ABC=1/2×r(a+b+c)
2s=a+b+cとおくと、
△ABC=rs で、
△ABC=√s(s-a)(s-b)(s-c) (ヘロンの公式)
多角形の面積は
2π/nで角度を考える。
三角形の成立条件 (おまけ)
|b-c|＜a＜b+c
これは角にも転用可能。
06.各函数の関係性
三角方程式
例:sinθ=Xのときのcos
象限(θ=kπ/4)に気を付ける!!!
三角関数同士の和・積は、
「sin²+cos²を1で置換」と
対称式変形を試みる!
→無理ならs+c=tとおいて²。
次数の高い(3次以上)もtとおく。
ただ、-1≦t≦1は書くべし。
| sin | cos | tan | |
| θ+2π | sinθ | cosθ | tanθ |
| θ±π | -sinθ | -cosθ | tanθ |
| θ+π/2 | cosθ | -sinθ | -1/tanθ |
| θ-π/2 | -cosθ | sinθ | -1/tanθ |
| -θ | -sinθ | cosθ | tanθ |
07.和積・積和の公式
和積の公式 sinα+sinβ=2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
sinα-sinβ=2cos{(α+β)/2}sin{(α-β)/2}
cosα+cosβ=2cos{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
cosα-cosβ=-2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα-tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα+tanβ)/(1+tanαtanβ)
～覚えなおし方～
cosβ側にマイナスがある。
積和の公式
sinαsinβ=-1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}
sinαcosβ=1/2{sin(α+β)-cos(α-β)}
cosαcosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}
08.三角関数の合成
asinθ+bcosθ=√(a²+b²)sin(θ+α)
（ただしsinα=a/√(a²+b²)，cosα=b/√(a²+b²））
[証明]
asinθ+bcosθ r=√a²+b²とすると
a=rcosα
b=rsinα
与式=r(cosαsinθ+sinαcosθ)
=rsin(θ+α)
09.倍角・3倍角・半角の公式
ⅰ.公式
和積の公式より、
倍角の公式
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=cos²θ-sin²θ
=1-2sin²θ
=2cos²θ-1
tan2θ=2tanθ/(1-tan²θ)
3倍角の公式
sin3θ=3sinθ-4sin³θ
cos3θ=-3cosθ+4cos³θ
半角の公式
sin²θ/2=(1-cosθ)/2
cos²θ/2=(1+cosθ)/2
tan²θ/2=(1-cosθ)/(1+cosθ)
ⅱ.公式の導出
倍角・半角については略する。
3倍角の公式の導出
sin3θ=sin(2θ+θ)
=sin2θcosθ+cos2θsinθ（※1）
=(2sinθcosθ)cosθ+(1-2sin²θ)sinθ
=2sinθcos²θ+sinθ-2sin³θ
=sinθ(2cos²θ+1)-2sin³θ
=sinθ(3-2sin²θ)-2sin³θ
=3sinθ-4sin³θ
※1①:倍角sin=2sc
※1②:倍角cos=1-2s²
同様に、cos3θも求められる。
10.最大・最小
sinθ+cosθ=tとおく。
目的は2つ。
①sinかcosに統一して表記する。
②あわよくばs²+c²=1を使う。(t²-2sc=1)
Ｑ.scは?→sin2θ/2 （倍角/2）
三角形の辺の大小は、
角の大小と同じ。
正弦定理から
a=2rsinA, b=2rsinB, c=sinC
11.発展編
複素函数論では、こういう公式もあります。
複素数における累乗は
za+bi=zazbi
=za|z|ebi
ここでのebiでは
|ebi|=1、(絶対値は0からの距離)
つまり偏角を表すんですね。
（bを変えると単位円を走る）
bが偏角なら、
e2πi=1、
eπi=-1な訳で。
ということで、
eθi=cosθ+isinθ
これが世にいう
Eularの関係式というやつです。
予想問題、下部にあります。
12.予想問題
予想問題のリンクはこちら。
