Tosastudy-math

代数

常用対数
log10x　(底が10の対数)
(ちなみに,高等数学では,
自然対数ln(x)=logexを用いる)

・桁数と常用対数の親和性
Ｑ.7^xの桁数は?
[解]
これをn桁とすると,
10^n-1≦7^x＜10ⁿ
これを対数表記すると,
(底10＞1より)
n-1≦log10x＜n
log10x≒y (常用対数表を使った近似)
y＜n≦y+1より,
n=y,nは[y(=log10x)+1]桁。
([x]は,ガウス記号(整数部分関数)の
　つもりでした。
　注記なくてすいません...)
分数においても,
文字≦何か＜文字で挟む。
常用対数表記にした後,
何か＜文字≦何か+1 にする

・log2,log3から様々な対数を表す
(以下においては,底:10として省略)
log4=2log2
　導出:log2²
log5=1-log2
　導出:log(10/2)
log6=log2+log3
　導出:log(2+3)
log8=3log2
　導出:log2³
log9=2log3
　導出:log3²

・最高位の数字を求める
Ｑ.12桁の数3²⁵の最高位の数は?
　(ただしlog103=0.4771とする)
[解]
題意をみたす数をkとおく。
このとき,
k×10¹²≦3²⁵＜(k+1)×10¹²
常用対数をとると,
log103²⁵=25log103=11.9275
　　　=11+0.9275
3²⁵=10^11+0.9275
　　　=10^0.9275×10¹¹
k≦10^0.9275＜k+1
log10k≦0.9275＜log10(k+1)
これをみたすkは,k=8。
よって,最高位の数は8。
極限
lim(hを含む数式)
h→a
これを,hを限りなく
aに近づけたときの極限という。
主に,直接aを代入すると
問題が生じる場合(ゼロ除算etc)が
これに相当する。

微分
関数f(x)について,
この傾きを表した関数f'(x)を
求めることを微分するといい,
f'(x)をf(x)の微分という。
　　　※f(x)/dxなどとも表される。
f(x)の微分f'(x)の定義は,
f'(x)=lim{[f(x+h)-f(x)]/h}
　　　h→0
である。
また,f'(x)を導関数とも呼ぶ。

関数の増減とその導関数
関数f(x)について,
この微分f'(x)はfの増減を表す。
また,fの増減(変曲点)を知りたいときは,
f'の正負を知ればよい。
f(x)=2x³-6x+9なら,
f'(x)=6x²-6
　　 =6(x+1)(x-1)
f'=0の解においてfは変曲点を示す。
よって,増減標を考えると

積分
幾何

空間ベクトル
以下において,暴挙であるが,
小文字はベクトルとする。
A(ａ),B(ｂ),C(ｃ),P(ｐ)など。

・平面ABC上のP
ｐ=(1-t-u)ａ+tｂ+ｃc
　=sａ+tｂ+uｃ (ただしs+t+u=1)

・平面ABCに下ろした垂線
平面ABC上の2ベクトルと
垂直であればよい。
AB⊥ｄ,AC⊥ｄより
内積=0に持ち込む。
でも条件が足らないので,
D(ｄ)について,
Dは平面ABC上を
利用する。
・Aを通りｄに平行な直線
直線上の任意の点P(ｐ)を考える。
このとき,A(ａ)を用いて
ｐ=ａ+tｄ　(t:実数)
ｄ(x1,y1,z1),A(a,b,c)とすると
ｐ=(a+tx1,b+ty1,c+tz1)
よって,直線の方程式は
tを消去して
(x-a)/x1=(y-b)/y1=(z-c)/z1

・Aを通りｄに垂直な平面
直線に平行なベクトルをｎとおくと
(ａ+tｎ)・ｄ=0
A(a,b,c),ｄ(x1,y1,z1)とすると
x1(a+x)+y1(b+y)+z1(c+z)=0

数列
以下において(math-ML習得まで),
Σやlimについては
無理矢理記載します。
ご了承下さい。
①等差数列
初項a1,公差dとすると,
a2=a1+d
a3=a1+2d...
an=a1+(n-1)d　---①
また,anまでの総和は,
Sn=n(a1+an/2
これは,①より,
Sn=n{a1+a1+(n-1)d}/2
とも表される。

②等比数列
初項a1,公比rとすると,
a2=a1r
a3=a1r²...
an=a1r^n-1
また,anまでの総和は,
Sn=1+a1+a1r+a1r²+...+a1r^n-1
(1-r)Sn=a1(1-rⁿ)
∴Sn=a1(1-rⁿ)/(1-r)

③累乗和
Sn=∑k^s　(k=1 to n)において,
k^s=∑sCmk^m (m=1 to s)
(二項定理の拡張)より,
S^sn=∑{∑sCmk^m (m=1 to s)}(k=1 to n)
　=∑S^mn　(m=1 to s-1)
S¹n=1+2+...+n=n(1+n)/2
∴S²n=n(n+1)(2n+1)/6
∴S³n={n(1+n)/2}²

(サルでもわかる)∑を使う方法（but高校数学で)
①∑内の整式を展開形にする
　(k-1)(k+1)→(k²-1)にする
②各項ごとに既知の形にする
　5k³+6k²+3→5(∑k³)+6(∑k²)+3(∑1)
③上記を括ったまま計算する
　n/2などを展開しない(むしろ括れ)
　　　↓
これに必要あらば
因数分解を施して完成!

Snから一般項を求める
Sn-Sn-1=an
(ただしn≧2)
a1=S1

部分分数分解
1/ab=|a-b|×|1/a-1/b|
(ただしa≠b)
これを用いて,
∑1/k(k+1) (k=1 to n)を
∑{1/k-1/(k+1)} (k=1 to n)とし
1/kは1/1から1/n,
1/(k+1)は1/2から1/(n+1)より
これは
1-1/(n+1)とできる。

等比・等差複合形
∑k×a^k
このような形の場合,
既存の方法では攻略不能である。
そこで,Snを
公比aで変形する。
Sn=a+2a²+3a³+...+naⁿ
ａn=1a²+2a³+...+(n-1)aⁿ+naⁿ⁺¹
ここで,この差(1-a)Snを考えると,
(1-a)Sn=a+a²+a³+...+aⁿ
これは∑a^k (k=1 to n)より,
(これは既知の形!!!)
等比数列の公式を用いて
これはa(1-aⁿ)/(1-a)
よって,
(1-a)Sn=a(1-aⁿ)/(1-a)
Sn=a(1-aⁿ)/(1-a)²