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Tosastudy

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代数

常用対数
log10x (底が10の対数)
(ちなみに,高等数学では,
自然対数ln(x)=logexを用いる)

・桁数と常用対数の親和性
Q.7xの桁数は?
この問題に対し,次の解答が与えられる。
[解]
これをn桁とすると,
10n-1≦7x<10n
これを対数表記すると,(底10>1より)
n-1≦log10x<n
log10x≒y (常用対数表を使った近似)
y<n≦y+1より,
n=y,nは[y(=log10x)+1]桁。
([x]は,ガウス記号(整数部分関数)の
 つもりでした。注記なくてすいません...)
分数においても,
文字≦何か<文字で挟む。
常用対数表記にした後,
何か<文字≦何か+1 にする

・log2,log3から様々な対数を表す
(以下においては,底:10として省略)
log4=2log2
 導出:log22
log5=1-log2
 導出:log(10/2)
log6=log2+log3
 導出:log(2+3)
log8=3log2
 導出:log23
log9=2log3
 導出:log32

・最高位の数字を求める
Q.12桁の数325の最高位の数は?
 (ただしlog103=0.4771とする)
[解]
題意をみたす数をkとおく。
このとき,
k×1012≦325<(k+1)×1012
常用対数をとると,
log10325=25log103=11.9275
   =11+0.9275
325=1011+0.9275
   =100.9275×1011
k≦100.9275<k+1
log10k≦0.9275<log10(k+1)
これをみたすkは,k=8。
よって,最高位の数は8。

極限
lim(hを含む数式)
h→a
これを,hを限りなく
aに近づけたときの極限という。
主に,直接aを代入すると
問題が生じる場合(ゼロ除算etc)が
これに相当する。

微分
関数f(x)について,
この傾きを表した関数f'(x)を
求めることを微分するといい,
f'(x)をf(x)の微分という。
   ※f(x)/dxなどとも表される。
f(x)の微分f'(x)の定義は,
f'(x)=lim{[f(x+h)-f(x)]/h}
   h→0
である。
また,f'(x)を導関数とも呼ぶ。

積分
幾何

空間ベクトル
以下において,暴挙であるが,
小文字はベクトルとする。
A(a),B(b),C(c),P(p)など。

・平面ABC上のP
p=(1-t-u)a+tb+cc
 =sa+tb+uc (ただしs+t+u=1)

・平面ABCに下ろした垂線
平面ABC上の2ベクトルと
垂直であればよい。
AB⊥d,AC⊥dより
内積=0に持ち込む。 でも条件が足らないので,
D(d)について,
Dは平面ABC上を
利用する。
・Aを通りdに平行な直線
直線上の任意の点P(p)を考える。
このとき,A(a)を用いて
p=a+td (t:実数)
d(x1,y1,z1),A(a,b,c)とすると
p=(a+tx1,b+ty1,c+tz1)
よって,直線の方程式は
tを消去して
(x-a)/x1=(y-b)/y1=(z-c)/z1

・Aを通りdに垂直な平面
直線に平行なベクトルをnとおくと
(a+tn)・d=0
A(a,b,c),d(x1,y1,z1)とすると
x1(a+x)+y1(b+y)+z1(c+z)=0 数列
以下において(math-ML習得まで),
Σやlimについては無理矢理記載します。
ご了承下さい。
①等差数列
初項a1,公差dとすると,
a2=a1+d
a3=a1+2d...
an=a1+(n-1)d ---①
また,anまでの総和は,
Sn=n(a1+an/2
これは,①より,
Sn=n{a1+a1+(n-1)d}/2
とも表される。

②等比数列
初項a1,公比rとすると,
a2=a1r
a3=a1r2...
an=a1rn-1
また,anまでの総和は,
Sn=1+a1+a1r+a1r2+...+a1rn-1
(1-r)Sn=a1(1-rn)
∴Sn=a1(1-rn)/(1-r)

③累乗和
Sn=∑ks (k=1 to n)において,
ks=∑sCmkm (m=1 to s)
(二項定理の拡張)より,
Ssn=∑{∑sCmkm (m=1 to s)}(k=1 to n)
 =∑Smn (m=1 to s-1)
S1n=1+2+...+n=n(1+n)/2
∴S2n=n(n+1)(2n+1)/6
∴S3n={n(1+n)/2}2 inserted by FC2 system