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数学

Tosastudyは期待に沿うため今日も更新中!

代数
パスカルの三角形と二項定理
パスカルの三角形:
上からn段目がnC0…nCr…nCnとなる三角形。
二項定理:
(a+b)ⁿ=nC1aⁿ+…nCnbⁿ
公式
(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
※和・差のどっちか覚えれば
　b=-b`と変換して計算可能
Point
①一般項の構造・理屈
一般項nCra^n-rb^r
nCr:二項係数。
(n-r)+r=n
②How to write down?
rに0~nまで代入した式の総和
n
∑nCra^n-rb^r=(a+b)ⁿ
r=0

整式の掛け算・割り算
AをBで割ると
A=BQ+Rのとき
Qを商,R余りという →筆算のときは係数のみでOK
but 1つの文字について整理したら
　　　他の文字を数字扱いする!
繁分数式
1/(1+1/x)のような, 分母∨分子に分数式を含む式のこと。
これは,分母を通分して,
x/x+1となる。

式と証明
恒等式:どのようなxに対しても
　成り立つ等式をxについての恒等式という。
恒等式の証明方法
①数値代入法
　数値を代入し,それに対して
　十分条件となるかを調べる。
②係数比較法
　左辺,右辺またはその両方を変形し,
　左辺=右辺となる事を証明する。
練習問題
①(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²(ad-bc)²を示せ
　(ラグランジュの恒等式)
②a+b+c=0のとき,
　a³+b³+c³=3abcを示せ
※当該式が分数式のとき,〜=kとおく事がある

不等式
x>y↔x-y>0
実数aに対し,
a²≧0が成立する
これより,b∈ならば
a²+b²≧0,等号成立はa=b=0
相加平均・相乗平均
a,b≥0のとき
(a+b)/2≧√(ab)
等号成立:　a=b
これはa+b≧2√(ab)ともされる

平方の大小
a,b>0のとき
a²>b²↔a>b
三角不等式
a∈ならば
|a|≧0,|a|≧a,|a²|≧a²
→これより,
三角不等式|a+b|≦|a|+|b|が導かれる

複素数・高次方程式
a,b∈を前提として
a+biの形で表される数。
Re{a+bi}=a　・・・実部
Im{a+bi}=b　・・・虚部
虚数:　実数でないℂ。
a=0∧b≠0→(0+)biを純虚数という

共役(軛)な複素数
α=c+diと共役な複素数:　α=c-di
また,α+β=α+β,
αβ=α β
また,a>0とすると,
√(-a)=√ai
a=1の場合,√(-1)=i
また,x²=aの解は,
x=±√a
2次方程式ax²+bx+c=0の解は,
x={-b±√(b²-4ac)}/(2a)
※b=2b`の場合も覚えよう!
(x={-b`±√(b`²-ac)}/a)
この判別式をDとすると,
(都合,不等号を≥,≤と書いたが,これは☓)
D≥0　異なる2つの実数解
D=0　重解(∈)
D≤0　異なる2つの虚数解

幾何
n進法
十進法では…
使う数:0,1,2……9
位取りの基本:10の累乗
eleven=11
二進法では…
使う数:0,1(のみ!!!) 位取りの基本:2の累乗
eleven=1×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰
　　　　=1011
　　　↓
n進法では…
使う数:0,1……n-1
位取りの基本:nの累乗
eleven=x×n^m+…+θ×n⁰
x(10)をn進法で表す
①x≥n^yとなる最大のyを見つける
②x-a1n^y≥n^z(a1≤n)
　　となる最大のzを見つける
③以下,これを繰り返し,
　n-{akn^y-kのk=1からk=yまでの総和}を求め,
　それを1の位に立てる
④a1n^y+…+ayn⁰より,
　a1…ay(n)と表される。

三角関数
∠ABC=90°の△ABCにおいて
∠CAB=θとすると...
sin θ=BC/AC
cos θ=AB/AC
tan θ=BC/AB
だから…
三平方の定理AC²=AB²+BC²より
①tan θ=sin θ /cos θ
②sin²θ+cos²θ=1
③1+tan θ=1/cos θ
これはsin,cosine,tangentの頭3文字。
Imp!!!
壱."関数"→f(x)として捉えるー
弐.ラジアン表記は楽!
　(θに対する半径1のときの弧の長さ)
参.変換公式を身につける!
ーーー単位円を用いて考える!ーーー
※π=rad(90°),2π=rad(180°)
余角の公式
①sin (π-θ) = cos θ
②cos (π-θ) = sin θ
③tan (π-θ) = 1/tan θ
④sin (π+θ) = cos θ
⑤cos (π+θ) =-sin θ
⑥tan (π+θ) =-1/tan θ
補角の公式
⑦sin (2π-θ)= sin θ
⑧cos (2π-θ)=-cos θ
⑨tan (2π-θ)=-tan θ
(これは三角関数が周期関数であることに由来)
ーーーーーーーーーーーーーーーー
sinθ:奇関数。原点を中心に点対称。
cosθ:偶関数。原点を中心に線対称。
tanθ:"-∞に発散→-1→0→1→+∞に発散"の繰り返し。
※-π≤θ≤πの区間でフーリエ変換できるのは
sin,cosであって,tanは
"区分的になめらかな連続関数"
でないのでできない!!!
・フーリエ変換
　sin,cosを用いて周期関数を表す
　フーリエ級数を一般化したもの。
・区分的になめらかな連続関数
　①±∞に発散しない
　②1階微分でも①がいえる
覚えよう!

sin θ
0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
0	1/2	1/√2	√3/2	1	√3/2	1/√2	1/2	0

cos θ
0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
1	√3/2	1/√2	1/2	0	-1/2	-1/√2	-√3/2	-1

tan θ
0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
0	1/√3	1	√3	定義　されない	-√3	-1	-1/√3	0

赤枠内が-180°≤θ≤180°,Oが原点。
縦軸:sinθ,cosθ,tanθ,横軸:θ
これを覚えておけば大丈夫!

詳しい表
正弦定理
内角和が180°の△ABCにおいて,
次が成り立つ。(証明は割愛)
a/sinA=b/sinB=c/sinB
(第2)余弦定理
内角和が180°の△ABCにおいて,
次が成り立つ。
a²=b²+c²-2bc cosA
b²=a²+c²-2ac cosB
c²=a²+b²-2ab cosC
(証明は割愛)
内接円の半径
△ABCの面積をS,辺の長さをa,b,cとすると
内接円の半径rは,
S=1/2×(a+b+c)rとなる
(証明)
内心をOとすると,
S=△ABO+△BCO+△CAO
=(1/2)(ar+br+cr)
=(1/2)(a+b+c)r　■

〜辺や角の長さ・大きさを求める〜
①正弦定理の利用
　辺と対角が判明or外接円半径Rが証明に登場
②余弦定理の利用
　辺と角のどちらかが2つ以上判明
③面積の利用
　3辺の積や内接円半径r,3角の正弦

立体(空間図形)において
辺・角が判明してる図形で分割!!!

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