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数学問題集

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この問題集は未解決問題も含まれるものです。


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  • 数学問題集
































































































































  • 第一章
  • 整数で,かつxⁿ+n=π(x)
    ただし,nは任意の整数
    (新しい種類の数の定義)
    (1)これは無限に存在するか
    (2)最小のxとnの組合せは?
    (3)もし有限だった場合,最大のπ(x)とx,nの組合せは?
    (4)多項式時間で判定できるか?
    (5)この問題におけるP=NPまたはP≠NPを証明せよ
    (6)作成中


  • 第ニ章
  • e(ネイピア数)のn進法における
    小数第n位がn進法表記でn-1となるnを
    e特殊数と表記することとする。
    →具体的にはeの小数第10位が9(10進法)
    →eの小数第2位が1として表記できるか

    (1)e特殊数は無限に存在するか。
    (2)最小のe特殊数は何?
    (3)有限ならば最大のe特殊数は?
    (4)πの場合をπ特殊数と呼ぶと,
      π特殊数において(1)~(3)は?
    (5)エルデシュ特殊数において(1)~(3)は?
      注意:エルデシュ数:0.2357111317192329………
      素数を小さいものから並べる


  • 第三章
  • 双子素数とメルセンヌ素数について

    (1)双子メルセンヌ素数は無数に存在するか。
      片方が(2ⁿ)-1の形で表されるものを
      双子メルセンヌ素数とよぶこととする。
    (2)(2ⁿ)-1=p1,(2ⁿ)+1=p2の双子素数をα型,
      (2ⁿ)-3=p1,(2ⁿ)-1=p2の双子素数をβ型と
      分類することとすると,
      α,β型はどちらも無数に存在するか。
      それとも片方のみか。
    (3)(1)の三つ子素数版を
     χ1,χ2,ψ1,ψ2,ω1,ω2型に分類したとき,
     それらは無数に存在するか。
     ただし,
     1型:p,p+2,p+6のもの
     2型:p,p+4,p+6のもの
     χ型:メルセンヌ素数が最小の組合せ
     ψ型:メルセンヌ素数を挟む組合せ
     ω型:メルセンヌ素数が最大の組合せ とする


  • 第四章
  • (1)双子素数は無数に存在するか
    (2)三つ子素数は無数に存在するか?
    (3)四つ子素数(p,p+2,p+6,p+8)は無数に存在するか?
     →下一桁が1,3,7,9
    (4)超・素数は無数に存在するか?
     〈勝手に作った定義〉
     基底素数(超素数のもとの素数)p1をつかって,
     (p1)^(p1)+2(p1)で表される素数p2のこと。
     最小値はp1=11,p2=285331670633
    (5)世代素数は無数に存在するか?
     〈勝手定義〉
     基底素数p1をつかい,
     2(p1)+1で表される素数p2のこと。
     最小はp1=3,p2=7
    (6)核家族素数は無数に存在するか?
     〈勝手定義〉
     双子素数p1,p1+2をつかい,
     (p1+p1+2)+1=2(p1)+3で表される素数p2のこと。
     最小はp1=3,p1+2=5,p2=11
    (7)子孫(こまご)素数は無数に存在するか?
     〈勝手定義〉
     異なる2つの双子素数p1,p1+2,p2,p2+2を用い,
     2(p1)+3=p3(素数),2(p2)+3=p4(素数)
     かつp3+p4+1=p5(素数)となる
     pi(i=1,2,3,4,5)のこと。
     最小は5,7,17,19,51の組合せ。
     (p1=5,p2=17,p3=13,p4=37,p5=51)
    (8)異なるレプユニット同士の和に1を加えたものは無数に存在するか?
     注意:レプユニットとは
     11,1111111111111111111のように,
     各桁が全て1の素数のこと。
    (9)作成中


  • 第五章
  • 完全数は
    1からそれを作るメルセンヌ素数までの総和で表される
    (奇数完全数が存在しないならば)
    これは次のように表される
    (2^p)-1
    ∑ k =σ{(2^p-1)[2^(p-1)]}=Pe(n)
    k=1
    nとpの関数を求めることは
    完全数関数を求めることと同値である。
    Pe(n)=(2^1){2^(p-1)}
    nとpの関数を
    ρ(n)=pと表すこととする。

    −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

    (1)ρ(n)は複素関数で表すとどうなるか

    (2)xが正の整数のとき,
      Pr(x)≤Pe(x)が常に成り立つことを示せ。
      (ただし,Pr(x)はx番目の素数を示す関数,
      Pe(x)はx番目の完全数を示す関数とする。)
    (証明)
    奇数完全数が存在しないとき,
    x≥0より
    x番目のメルセンヌ素数を示す関数Mp(x)において,
    Mp(x)≤Pe(x)が成り立つ。
    また,メルセンヌ素数以外の素数もPr(x)に含まれるため,
    Pr(x)≤Pe(x)が成り立つ ■

    (3)xまでの完全数の数を表す関数Π(x)と
      xまでの素数の個数を表す関数π(x)において,
      xが正の整数のとき,
      常にπ(x)≥Π(x)が成り立つことを示せ
    (証明)
    x>0よりMn(x)=Π(x)
    π(x)にメルセンヌ素数以外も含まれるため
    π(x)>Π(x)       ■


    これらが解けたらご一報下さい
    (大発見!!!)
    taroman3141414@gmail.com
    掲載してよい場合はその旨お知らせ下さい
































































































































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    My_Little_History 素数 BS,PL,CFって?

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