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数学

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代数
パスカルの三角形と二項定理
パスカルの三角形:
上からn段目がnC0nCrnCnとなる三角形。
二項定理:
(a+b)ⁿ=nC1aⁿ+…nCnbⁿ
公式
(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
※和・差のどっちか覚えれば
 b=-b`と変換して計算可能
Point
①一般項の構造・理屈
一般項nCran-rbr
nCr:二項係数。
(n-r)+r=n
②How to write down?
rに0~nまで代入した式の総和
n
nCran-rbr=(a+b)n
r=0

整式の掛け算・割り算
AをBで割ると
A=BQ+Rのとき
Qを商,R余りという →筆算のときは係数のみでOK
but 1つの文字について整理したら
   他の文字を数字扱いする!
繁分数式
のような式のこと。
これは,分母を通分して,

最終的に
となる。
式と証明
恒等式:どのようなxに対しても
 成り立つ等式をxについての恒等式という。
恒等式の証明方法
①数値代入法
 数値を代入し,それに対して
 十分条件となるかを調べる。
②係数比較法
 左辺,右辺またはその両方を変形し,
 左辺=右辺となる事を証明する。

幾何
n進法
十進法では…
使う数:0,1,2……9
位取りの基本:10の累乗
eleven=11
二進法では…
使う数:0,1(のみ!!!) 位取りの基本:2の累乗
eleven=1×23+0×22+1×21+1×20
    =1011
   ↓
n進法では…
使う数:0,1……n-1
位取りの基本:nの累乗
eleven=x×nm+…+θ×n0
x(10)をn進法で表す
①x≥nyとなる最大のyを見つける
②x-a1ny≥nz(a1≤n)
  となる最大のzを見つける
③以下,これを繰り返し,
 n-{akny-kのk=1からk=yまでの総和}を求め,
 それを1の位に立てる
④a1ny+…+ayn0より,
 a1…ay(n)と表される。

三角関数
∠ABC=90°の△ABCにおいて
∠CAB=θとすると...
sin θ=BC/AC
cos θ=AB/AC
tan θ=BC/AB
だから…
三平方の定理AC²=AB²+BC²より
①tan θ=sin θ /cos θ
②sin²θ+cos²θ=1
③1+tan θ=1/cos θ
これはsin,cosine,tangentの頭3文字。
Imp!!!
壱."関数"→f(x)として捉えるー
弐.ラジアン表記は楽!
 (θに対する半径1のときの弧の長さ)
参.変換公式を身につける!
ーーー単位円を用いて考える!ーーー
※π=rad(90°),2π=rad(180°)
余角の公式
①sin (π-θ) = cos θ
②cos (π-θ) = sin θ
③tan (π-θ) = 1/tan θ
④sin (π+θ) = cos θ
⑤cos (π+θ) =-sin θ
⑥tan (π+θ) =-1/tan θ
補角の公式
⑦sin (2π-θ)= sin θ
⑧cos (2π-θ)=-cos θ
⑨tan (2π-θ)=-tan θ
(これは三角関数が周期関数であることに由来)
ーーーーーーーー ーーーーーーーー
sinθ:奇関数。原点を中心に点対称。
cosθ:偶関数。原点を中心に線対称。
tanθ:"-∞に発散→-1→0→1→+∞に発散"の繰り返し。
※-π≤θ≤πの区間でフーリエ変換できるのは
sin,cosであって,tanは
"区分的になめらかな連続関数"
でないのでできない!!!
・フーリエ変換
 sin,cosを用いて周期関数を表す
 フーリエ級数を一般化したもの。
・区分的になめらかな連続関数
 ①±∞に発散しない
 ②1階微分でも①がいえる
覚えよう!
sin θ
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
0 1/2 1/√2 √3/2 1 √3/2 1/√2 1/2 0
cos θ
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
1 √3/2 1/√2 1/2 0 -1/2 -1/√2 -√3/2 -1
tan θ
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
0 1/√3 1 √3 定義
 されない
-√3 -1 -1/√3 0

赤枠内が-180°≤θ≤180°,Oが原点。
縦軸:sinθ,cosθ,tanθ,横軸:θ
これを覚えておけば大丈夫!

詳しい表
正弦定理
内角和が180°の△ABCにおいて,
次が成り立つ。(証明は割愛)
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (但しRは外接円半径)
(第2)余弦定理
内角和が180°の△ABCにおいて,
次が成り立つ。
a²=b²+c²-2bc cosA
b²=a²+c²-2ac cosB
c²=a²+b²-2ab cosC
(証明は割愛)



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