Study.now幾何

幾何

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  • 幾何
  • 否定:¬
    且つ:∧
    又は:∨

    ド・モルガンの法則
    ¬(A∧B)=¬A∨¬B
    ¬(A∨B)=¬A∧¬B

  • 順列
  • 場合分けの動機を探す
    例:AとBに場合分けする
    (A,A,B),(A,B,B),(B,A,A),(B,A,B)等
  • nPr=n!/(n-r)!
  • 順列は,異なるn個からr個取り出すとき
    nPrと表す。
    何かを固定する!!!☚円順列は回転させても同じ
    数珠順列では裏表回転同形は同じとみなす
  • 場合の数
  • 考えうる全ての場合を
    数え上げたときの総数
  • 正の約数の個数を求める
  • 72の正の約数は?
    ①素因数分解
    →72=2³・3²
    このことより,
    72の正の約数は,
    2³の約数と3²の約数の積で表される
    2³の正の約数は,
    1,2,2²,2³の4個,
    3²の正の約数は,
    1,3,3²の3個。
    よって,4*3=12
    注:72の正の約数の総和は,
    (1+2+2²+2³)(1+3+3²)より,
    195となる。
  • n個からr個とる順列
  • 一般にn≧rとして,
    n個からr個取り出し並べるときの
    場合の数の総数は,
    nPr
    で表す。また,その計算は,
    n(n-1)(n-2)……………(n-r+1)
    =n!/(n-r)!で行う。
    また,これが成立するように,
    0!=1と定義する。
  • 円順列
  • 円順列とは,
    A~Eまでの区別するモノ・人が,
    輪を作ったもの。
    これは,
    nPr
     n
    であり,
    =n!/n
    =(n-1)!である。
  • 重複順列
  • n個からr個とる重複順列とは,
    異なるn個から 同じものを何度も用いてもよいものとしたとき
    r個を取り出し一列に並べたもの
    これは,n*n*n*………nと表し, =n^rである。(エヌのr乗)
  • 組合せ
  • n≧rとして順序を考えずに
    異なるn個からr個取り出す(だけ)のとき,
    その1組が何個あるかの総数。
    (注:これは教書通りではない)
    また,このときの場合の数を,
    nCr
    と表す。
    また,これは,
    nPr/r!
    と表すことができる。
    nCr=nCn-r
    である。
    対角線の本数を求める
    →正n角形の場合,
    nC2-n
    と表される。
    理由:これは,n個の頂点から2個選ぶ組合せである
    (ただし辺は除く)→nCr-2
  • 同じものを含む順列
  • a,a,a,b,b,c,cの7つを1列に並べる
    a₁,a₂,a₃,b₁,b₂,C₁,C₂と名をつけたとき,
    その並べ方は7!通り。
    aの名の付け方は3!通り,
    bの名の付け方は2!通り,
    cの名の付け方は2!通り
    ∴求める場合の数は,7!/3!2!2!より
    210通り
  • 格子状区画内における最短距離
  • 東西n本,南北m本の道があるとき,
    (身近な値を代入して考えて下さい)
    現在格子状区画の南西端にいるものとして,
    北に進むこと↑,東に進むこと→として,
    ↑がm本,→がn本必要である。
    よって,
    m個の↑とn個の→の順列の総数は,
    (m+n)!/m!n!として表される
    また,
    どこかの地点に立ち寄る際は,
    スタート地点からその地点迄と
    その地点からゴール地点迄で
    掛け算をする。
  • 幾何解説
  • 例題異なるn個からr個取り出し並べるときの総数は?
    異なるn個からr個取り出したときの組合せの総数は?
    異なるn個から重複を許してr個とる組合せの総数は?
    この三つに関しては基本的なことですね。
    もちろん,答えは
    nPr
    nCr
    nHr
    ですね。
    また,円順列の場合の数の総数は,
    (異なるn個を円形に並べるとき)
    (n-1)!で表され,
    数珠順列の場合は,これを2で割ればよい。

    まずはこの定義を暗記している事を前提として,
    これら(1)~(5)の問題にて,空箱があってもよいものとする。
    (1) ①~⑤までのボールをA~Cまでの箱に入れるときの
       場合の数の総数は?
    (2) ①~⑤までのボールを3つの箱(区別しない)に
       入れるときの場合の数の総数は?
    (3) 5個のボール(区別無し)をA~Cの箱に入れるときの場合の数の総数は?

    (4) 5個のボール(区別無し)を3つの区別しない箱に入れるときの
       場合の数の総数は?
    (5) A~Cの文字を重複を許して6つの紙(区別しない)に書くときの場合の数の総数は?

  • 解答
  • 正解は,(自分で書けば分かりやすい)
    3^5=243通り,
    (3^5-3)/(3!)+1=41通り,
    (3^5)/5P5
    (3H5-3)/3!+1
    8C6

  • 解説
  • (1)省略(これが分からなければ定義へ。)
    (2)空箱2箱の場合,重複度3であるが,
    空箱1,0箱の場合は,重複度3!のため,
    空箱2箱の場合が3つであるので
    ∴空箱2箱のとき3/3=1
     空箱1,0箱のとき(3^5-3)/3!
    よって,(3^5-3)/(3!)+1=41

    (3)これは,3H5より,
    3+5-1C5
    ∴21通り。
    (4)(3)より,箱を区別する場合,
    3H5通り。
    また,この中で重複度が異なるものは空箱2箱のときなので,
    (3H5-3)/3!+1より,
    4通り。
    (5)これは,
     3H6通り
    8C6
    =28通り。


    <問題1>
    (1)正n角形の対角線の本数を求めよ。
    (2)正n角形の頂点を結んで作られる三角形の総数を求めよ。
    (3)正n角形において頂点を結んで作られる三角形の種類を求めよ。
    (4)正3角錐の各面を異なる4色全てを用いて塗る方法は何通りか。
      ただし,頂点はすべて区別するものとする。

    <解答>
    (1)n(n+1)/(2!)-n
    (2)nC3 (3)nC2/(n-1)!
    (4)4!=24

    <解説>
    (1)正n角形の対角線の本数は,
    nC2-nと表される。
    ∵n個の頂点から2箇所を選び,辺(n本)を引くから。
    よって,(n(n+1))/(2!)-n
    (2)nC3
    ∵頂点n箇所から3箇所選ぶから。
    (3)(2)より,
    nC2/(n-1)!
    (4)すべての頂点を区別するので,
    異なる4面を異なる4色で塗り分ける総数と同じである。
    よって,4!=24

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