例:P(x)を(x-a)で割った余りがR
(x-b)で割った余りがSのとき,
P(x)を(x-a)(x-b)で割った余りを
αx+βとおくと,
αa+β=R
αb+β=S となる。
因数定理
f(x)=0の解がαのとき,
P(α)=0ならば
P(x)はf(x)で割り切れる。
1の3乗根
x³=1
x³-1=0
(x-1)(x²+x+1)=0
虚数のものをω1ω2とおくと,
ω1²=ω2,ω2²=ω1が成り立つ。
※ω=(-1±√3i)/2
だから,1の3乗根は
1,ω,ω²と表されたりする。
・1+ω+ω²=0
・ω²=ω
一般に,実係数方程式P(x)において,
P(x)の解の1つがα (α∈ℂ)なら,
その共役αもP(x)の解である。
また,このことは証明なしに用いてよい。
tanθ=(sinθ)/(cosθ)
tanθは傾き!
1+tan²θ=1/(cos²θ)
上記公式に代入
②三角関数の周期性からの公式
sin(θ+2nπ)=sinθ 周期2π(360°)
cos(θ+2nπ)=cosθ 周期2π(〃)
tan(θ+ nπ)=tanθ 周期 π(180°)
③三角関数の変換
sin(-θ)=-sinθ
cos(-θ)= cosθ
tan(-θ)=-tanθ
単位円の軸に関して対称,tanは計算
sin(θ+π)=-sinθ
cos(θ+π)=-cosθ
tan(θ+π)= tanθ
単位円で180°回転
sin(θ+π/2)= cosθ
cos(θ+π/2)=-sinθ
tan(θ+π/2)=-1/(tanθ)
単位円で 90°回転
また,θ=-θとすることもできる。
(例:π-θ,π/2-θ etc...)
lim(tanθ)=+∞ (θ→π/2)
このとき,θ=π/2をtanθの漸近線と呼ぶ。
全てのθに対しf(θ+c)=f(θ)となる
最小のcを「f(θ)の周期」と呼ぶ。
また,f(θ)はcを周期とすう周期関数という。
このとき,f(kθ)の周期はc/kとなる。
ーーー参考ーーー
関数f(θ)と定数kを考える。
このとき,
y=k f(θ) は f(θ) のグラフを
y軸方向にk倍したもの。
y=f(kθ) は f(θ) のグラフを
x軸方向に1/k倍したもの。
y=f(θ+k) は f(θ) のグラフを
x軸方向に-kだけ平行移動したもの。
y=f(θ)+k は f(θ) のグラフを
y軸方向にkだけ平行移動したもの。
これが図を書いて説明できれば三角関数でも大丈夫!
ーーー参考終ーーー
幾何
外分点の公式
A(a,b),B(c,d)をx:yに内分する点Pの座標
P{(ay+cx)/(x+y),(by+ax)/(x+y)}
内分点の公式
A(a,b),B(c,d)をx:yに外分する点Qの座標
Q{(-ay+cx)/(x-y),(-by+ax)/(x-y)}
点と直線の距離
A(α,β)と直線ax+by+c=0の距離d
d=|aα+bβ+c|/√(a²+b²)
※|x,yにα,βを代入|をa,bの平方和で割る
重心
(x1,y1),(x2,y2),(x3,y)の重心G
G{(x1x2+x3)/3,y1+y2+y3)/3}
(x1,y1)を通る傾きmの方程式
y-y1=m(x-x1)
(x1,y1),(x2,y2)を通る方程式
x1≠x2のときy-y1=(x-x1)(y2-1)/(x2-x1)
x1=x2のときx=x1
パッブスの中線定理
△ABCにおいて,BCの中点Mのとき,
AB²+AC²=2(AM²+BM²)が成り立つ。
証明
(座標平面を用いる)
A(a,b),B(-c,0),M(0,0),C(c,0)とする。
左辺={(a+c)²-b²}+{(a-c)²+b²}
=2(a²+b²+c²)
右辺=2{(a²+b²)+c²}
=2(a²+b²+c²)
左辺=右辺が示されたので,
MをBCの頂点とする△ABCにおいて,
AB²+AC²=2(AM²+BM²)がいえる ■
平行四辺形の座標平面上での決定
平行四辺形ABCDにおいて,
A(1,3),B(-1,-1),C(3,0)のとき,
D(x,y)は?
ACの中点=BDの中点 より
(x,y)=(5,4) ∥
円x²+y²=r²
(a,b)を中心とする場合は
(x-a)²+(y-b)²=r²
また,展開して,
x²+y²+mx+ly-r=0と表す場合もある。
(x²+y²-2ax-2by-r²=0でよい)
また,円の中心と直線の距離をdとすると
d< r 2交点で交わる
d=r 接点で交わる
d>r 共有点なし
切り取られる線分(=弦)の長さ
○と＼で図を書くと分かりやすい
※中心Cから直線へ垂線を下ろし,
交点をHとし,円と直線の交点をA,Bとする
△AHCは直角三角形より,3平方の定理適用して
AH²+CH²=AC²となる。
CHが円と直線の距離,ACは半径,AH>0より
AHが分かる。